Скин-эффект в цилиндрических и прямоугольных проводниках: вихревые токи и скученность токов

Изменяющийся во времени ток имеет неравномерное распределение по площади поперечного сечения проводника. Чтобы аппроксимировать высокочастотное сопротивление проводника, мы можем предположить, что весь ток течет равномерно в слое толщиной в одну толщину скин-слоя чуть ниже поверхности проводника. Фактически это приближение достигается для частного случая, когда проводник представляет собой полупространство.

На практике реальные проводники имеют конечные размеры и могут иметь круглое или прямоугольное поперечное сечение. Возникает вопрос: можно ли применить результаты, полученные для проводящего полупространства, к другим типам проводов?

Мы можем решить уравнения Максвелла для хорошего проводника, чтобы найти следующее дифференциальное уравнение для плотности тока J:

$$\набла ^2 J = j \omega \mu \sigma J$$

Если вы уже устали от концепций векторного исчисления, устрашающий символ ∇2 (Del в квадрате) называется оператором Лапласа. Проще говоря, оператор Лапласа является обобщением концепции второй производной в пространствах с более чем одним измерением. Его дают:

$$\nabla ^2 = \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 }{\partial z^2}$$

Уравнение 1 описывает распределение тока в хорошем проводнике. Оно справедливо как для проводящего полупространства, так и для провода круглого сечения. Однако решения, которые мы получаем для этих двух типов сред, совершенно различны. Для проводящего полупространства плотность тока представляет собой простую экспоненциально убывающую синусоидальную функцию (если предположить, что мы имеем дело с плоской волной). А как насчет цилиндрического проводника?

Из вашего опыта работы в других областях физики, в которых используется цилиндрическое основание, вы, возможно, правильно догадались, что ответ на уравнение 1 должен включать функции Бесселя, когда проволока имеет круглое поперечное сечение. Это не очень хорошая новость для нас, инженеров, которые всегда пытаются разработать простую модель для различных явлений. Функции Бесселя полезны при моделировании широкого спектра физических задач: от теплопроводности в цилиндрическом объекте до описания вибраций тонкой круглой мембраны, такой как пластик барабана. Однако их может быть трудно визуализировать, и, очевидно, они гораздо менее просты, чем простая экспоненциально затухающая синусоидальная волна.

Из-за сложности этих функций мы не будем вдаваться в математические детали анализа и рассмотрим только результаты, представленные в книге Саймона Рамо «Поля и волны в коммуникационной электронике». На рис. 1 показана нормированная величина распределения тока по сечению круглого провода диаметром 1 мм на четырех различных частотах.

Параметр r0 на графике выше обозначает радиус провода. На частоте (f) 1 кГц глубина скин-слоя примерно в 4,2 раза превышает радиус проводника (или, что эквивалентно, r0/δ = 0,239). Как видите, распределение тока в этом случае практически равномерное.

С увеличением частоты глубина скин-слоя уменьшается, а отношение r0/δ увеличивается от 0,239 на частоте 1 кГц до 7,55 на частоте 1 МГц. Заметим, что даже при r0/δ=2,39 плотность тока в центре проволоки почти вдвое меньше плотности тока на поверхности проводника. Это не согласуется с упрощенным описанием скин-эффекта, согласно которому плотность тока снижается до e-1=0,37 от его поверхностного значения на глубине δ.

На рис. 2 реальные распределения тока при r0/δ=2,39 и r0/δ=7,55 сравниваются с экспоненциально затухающим распределением плотности тока (что соответствует распространению волн в проводящем полупространстве). Как видите, результаты для случая полупространства можно использовать для аппроксимации фактического распределения тока в круглом проводе только в том случае, если радиус кривизны проводника намного больше толщины скин-слоя.

Как правило, если все радиусы кривизны и толщины проводника хотя бы в 3–4 раза превышают толщину скин-слоя, мы предполагаем, что данный проводник напоминает полубесконечный блок. До сих пор в этой серии из двух частей мы полагались на решение уравнений Максвелла для описания некоторых наиболее важных особенностей скин-эффекта. Более глубокое (и, возможно, более полезное) понимание этого эффекта можно получить, отметив, как закон индукции Фарадея может создавать вихревые токи внутри проводника. Вооружившись этим пониманием, мы сможем лучше понять, как ведут себя различные межсоединения.